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k8凯发-凯发官网入口生物问答 正文

第一章 整数的可除性

作业 1.1 20210301

1、求出200以内的素数

作业1.3 20210301

1、判断如下整数是否为素数? 1) 191, 193, 197, 199. 2) 221, 223, 227, 229 3) 391, 397, 401, 403

作业 1.4 20210222

1、计算如下整数的最大公因数： 1) (166, 332). 2) (984, 1038). 3) (1124, 1213). 4) (1281, 2019). 5) (1338, 2018).

作业 1.5 20210222

1、求关于如下整数对(a, b) 的贝祖等式, 即求整数 s, t 使得 s a t b = (a, b)： 1) (166, 332). 2) (984, 1038). 3) (1124, 1213). 4) (1281, 2019). 5) (1338, 2018).

作业 1.6 20210222

1、比较最大公因数的定义(定义1.3.1)和其数学表述（定理1.3.9）. 说明如何构造互素的两个正整数.

作业 1.7 20210222

1、1. 求如下整数的最小公倍数： 1). [888, 1036] 2). [1094, 1152] 3). [1190, 1227] 4). [1274, 1342] 5). [936, 984]

作业 1.8 20210222

1、求如下整数的因数分解式: 1). 465, 510, 552, 592, 627. 2). 673, 713, 764, 812, 856. 3). 890, 936, 984, 1038, 1124. 思考题： 算术基本定理的证明是否要用到广义欧几里得除法或贝祖等式

第二章 同余

作业 2.1 20210308

1、1). 简述两个整数 a, b 是否同余的判断方法. 2). 今天是星期五，问第 2^{20190419} 天是星期几? 3). 给出定理 2.1.8 之证明. 4). 给出定理 2.1.12 之证明. 5). 判断整数 2019040820190419 是否被 9 整除?

作业 2.2 20200308

1、1). 构造 mod 19 的最小非负完全剩余系，最小正完全剩余系，绝对值最小完全剩余系，偶数组成的完全剩余系，奇数组成的完全剩余系. 2). 给出定理 2.2.4 之证明. 3). 构造 mod 21 的加法(参见 例 2.3.11) 4). 给出 例 2.2.5 之证明.

作业 2.3 20200308

1、1). 构造 mod 19 的简化剩余系及乘法表(例 2.3.10). 2). 给出定理 2.3.5 之证明. 3). 给出定理 2.3.6 之证明. 4). 设 a 是与 32760 互素的整数. 证明: a^{12} 同余于 1 mod 32760. 5). 计算如下整数 m 的欧拉函数: a) m = 19. b) m = 2017. c) m = 2019. d) m = 888*2018.

作业 2.4 20200308

1、1). 对于素数 p = 19. 计算 a^p mod p, 其中 a = 0, 1, 2, ..., p-1. 2). 给出定理 2.4.1 之证明(欧拉定理). 3). 给出定理 2.4.2 之证明(费马小定理). 4). 设 p = 19. 计算序列 u = { u_k = a^k mod p | k = 1, 2, ..} 的最小周期 (参见定义 b.0.1), 其中 a = 2, 3 , 5, 7.

作业 2.5 20200308

1、1). 设 n = 667. e = 13. d = 237. 对于 m = 199, 计算 c = m^e mod n; 再计算 m' = c^d mod n. 最后比较 m' 与 m. 2). 设 n = 667. e = 17. i) 求 d = e^{-1} mod n. ii) 对于 m = 199, 计算 c = m^e mod n; 再计算 m' = c^d mod n. 最后比较 m' 与 m. 3). 设 n = 2011*2017. e = 17. i) 求 d = e^{-1} mod n. ii) 对于 m = 199, 计算 c = m^e mod n; 再计算 m' = c^d mod n. 最后比较 m' 与 m.

第三章 同余式

3.1 作业 20210327

1、1). 设 (a, m) = 1. 同余式 a x \equiv = 1 mod m 有解吗？如何求解? 2). 设 (a, m) = d. 同余式 a x \equiv = b mod m 有解吗？如何求解? 3). 求解 a). 35 x \equiv = 1 mod 3 . b). 21 x \equiv = 1 mod 5. c). 15 x \equiv = 1 mod 7 .

3.2 作业 20210327

1、1). 求解同余式组 x \equiv 1 \bmod 3\\ x \equiv 1 \bmod 5\\ x \equiv 5 \bmod 7\\ 2). 求解同余式组 x \equiv 1 \bmod 3\\ x \equiv 3 \bmod 5\\ x \equiv 5 \bmod 7\\ 3). 求解同余式组 x \equiv 2 \bmod 3\\ x \equiv 2 \bmod 5\\ x \equiv 3 \bmod 7\\

3.3 作业 20210327

1、设 p = 2011, q = 2017. n = p*q. 设 e = 17. m = 190111. 1). 计算 b_1 \equiv m^e mod p 及 b_2 \equiv m^e mod q. 2). 计算关于 p, q 的贝祖等式 s*p t*q =1. 3). 运用中国剩余定理计算 m^e mod n. 4). 直接计算 m^e mod n.

3.4 作业 20210327

1、求解同余式组 x = 3 mod 99 x = 5 mod 100 x = 7 mod 101

3.5 作业 20210327

1、设 m_1 = 99, m_2 = 101, m = m_1 * m_2 . 设 a = 19, e = 20190426. 计算 a^e mod m.

3.6 作业 20210327

1、求解如下同余式: x^{20190426} x^{201904} x^{2019} x^{19} x 1 = 0 mod 7.

3.7 作业 20210327

1、求解如下同余式: x^{19} x^{6} x^{5} x^{4} x 1 = 0 mod 7^3.

第四章 二次同余式与平方剩余

4.1 作业 20210327

1、设 p = 19. 求出模 p 的所有二次剩余和二次非剩余. 设 p = 17. 求出模 p 的所有二次剩余和二次非剩余. 设 p = 23. 求出模 p 的所有二次剩余和二次非剩余.

4.2 作业 20210327

1、给出定理 4.2.1 之证明. 设 p = 2017. 判断如下整数 a 是否为模 p 平方剩余? a) a = 2, b) a = 3. c) a = 17. d) a = 2011.

4.3 作业 20210327

1、叙述 legendre 符号之定义. 给出定理 4.3.2 及推论之证明. 给出定理 4.3.3 之证明.

4.4 作业 20210327

1、给出引理4.3.1 (gauss) 之证明，并说明 m 与 t(a,p) 的奇偶性以及 t(a,p) 的几何特性。 运用引理 4.3.1，判断 3 是否为 mod 2011 平方剩余. 运用引理 4.3.1，判断 5 是否为 mod 2011 平方剩余. 运用引理 4.3.1，判断 7 是否为 mod 2011 平方剩余.

4.5 作业 20210327

1、1. 设 p = 2011. 判断如下整数 a 是否为模 p 平方剩余? a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19. 2. 设 p = 2017. 判断如下整数 a 是否为模 p 平方剩余? a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19. 3. 设 p = 20190221. 判断如下整数 a 是否为模 p 平方剩余? a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19. 4. 设 p = 20190227. 判断如下整数 a 是否为模 p 平方剩余? a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19.

4.6 作业 20210327

1、查看题目列表 作业题1 1. 设 p = 2011. q = 2017. m = p*q. 计算如下整数 a 关于模 m 的雅克比符号: a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19. 2. 设 p = 20190221. q = 20190227. m = p*q. 计算如下整数 a 关于模 m 的雅克比符号: a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19.

4.7 作业 20210327

1、1. 设 p = 2011. 求如下整数 a 的模 p 平方根: a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19. 2. 设 p = 20190227. 求如下整数 a 的模 p 平方根: a) a = 6, b) a = 14. c) a = 17. d) a = 19.

4.9 作业 20210327

1、设 p = 2017. 求解 x, y 使得 x^2 y^2 = p. 设 p = 20190221 求解 x, y 使得 x^2 y^2 = p.

第五章 原根与指标

5.1 作业20210426

1、设 $p = 17$. 求出模 $p$ 的最小正简化剩余系各元素的指数. 设 $p = 19$. 求出模 $p$ 的最小正简化剩余系各元素的指数. 设$ m = 21$. 求出模 $m$ 的最小正简化剩余系各元素的指数. 设 $m = 2^4$. 求出模 $m$ 的最小正简化剩余系各元素的指数. 设 $m = 5^2$. 求出模 $m$ 的最小正简化剩余系各元素的指数.

5.2 作业 20210426

1、设 $m = 191$. 设 $g=19$, $a=g^{10}, b = g^{19}$. 分别计算 ${rm ord}_m(a), {rm ord}_m(b), {rm ord}_m(a\cdot b)$. 设 $m = 191$. 设 $g=19$, $a=g^{10}, b = g^{11}$. i) 分别计算 ${rm ord}_m(a), {rm ord}_m(b), {rm ord}_m(a\cdot b)$. ii) 分别计算 ${rm ord}_m(a), {rm ord}_m(b), {rm ord}_m(a\cdot b)$. 设 $m =3631$. 设 $a=10, b = 11$. 分别计算 ${rm ord}_m(a^{15}), {rm ord}_m(b^{11}), {rm ord}_m(a^{15}\cdot b^{11})$.

5.3 作业 20210426

1、设 $p = 17$. 求模 $p$ 原根. 设 $p = 19$. 求模 $p$ 原根. 设 $p = 191$. 求模 $p$ 原根. 设 $p = 311$. 求模 $p$ 原根. 设 $p = 313$. 求模 $p$ 原根. 设 $p = 2011$. 求模 $p$ 原根. 设 $p = 2017$. 求模 $p$ 原根.

5.4 作业 20210426

1、设 $p = 17$. 求模 $p^2$ 原根, 及模 $p^{alpha}$ 原根. 设 $p = 19$. 求模 $p^2$ 原根, 及模 $p^{alpha}$ 原根. 设 $p = 191$. 求模 $p^2$ 原根, 及模 $p^{alpha}$ 原根. 设 $p = 311$. 求模 $p^2$ 原根, 及模 $p^{alpha}$ 原根. 设 $p = 313$. 求模 $p^2$ 原根, 及模 $p^{alpha}$ 原根. 设 $p = 2011$. 求模 $p^2$ 原根, 及模 $p^{alpha}$ 原根. 设 $p = 2017$. 求模 $p^2$ 原根, 及模 $p^{alpha}$ 原根.

5.5 作业 20210426

1、设 $m =2^6$. 设 $a=5, b = 7$. 分别计算 ${rm ord}_m(a), {rm ord}_m(b), {rm ord}_m(a\cdot b)$. 设 $m =2^8$. 设 $a=5, b = 11$. 分别计算 ${rm ord}_m(a), {rm ord}_m(b), {rm ord}_m(a\cdot b)$.

5.6 作业 20210426

1、给出模 $m$ 原根存在的充分必要条件.

第六章 素性检验

6.1 作业 20210510

1、设 $n=17\cdot 19$. 对于 $b$ 遍历模 $n$ 的完全剩余系, 计算 $b^{n-1} \bmod n$, 并确定出所有整数 $b$, 使得 $n$ 为基 $b$ 的伪素数. (参见定义 6.1.1) 设 $n=23\cdot 47$. 对于 $b$ 遍历模 $n$ 的完全剩余系, 计算 $b^{n-1} \bmod n$, 并确定出所有整数 $b$, 使得 $n$ 为基 $b$ 的伪素数. 简述 fermat 素性检验, 并用它产生一个 $10^{10}$ 大小的素数.

6.2 作业 20210510

1、如何快速地判断整数 $n$ 有平方因数? 设 $n=1105$, 证明: $n$ 是卡迈克尔数 (carmichael) 数. 设 $n=1729$, 证明: $n$ 是卡迈克尔数 (carmichael) 数.

6.3 作业 20210510

1、设 $n=17\cdot 19$. 对于 $b$ 遍历模 $n$ 的完全剩余系, 计算雅克比符号 $\left (frac{b}{b} \right )$ 及 $b^{(n-1)/2} \bmod n$, 并确定出所有整数 $b$, 使得 $n$ 为基 $b$ 的 euler 伪素数. (参见定义 6.2.1) $n=23\cdot 47$. 对于 $b$ 遍历模 $n$ 的完全剩余系, 计算雅克比符号 $\left (frac{b}{b} \right )$ 及 $b^{(n-1)/2} \bmod n$, 并确定出所有整数 $b$, 使得 $n$ 为基 $b$ 的 euler 伪素数. 简述 solovay-stassen 素性检验, 并用它产生一个 $10^{10}$ 大小的素数.

6.4 作业 20210510

1、设 $n=17\cdot 19$. 对于 $b$ 遍历模 $n$ 的完全剩余系, 计算 $b^{n-1} \bmod n$, 并确定出所有整数 $b$, 使得 $n$ 为基 $b$ 的强伪素数. (参见定义 6.3.1). 设 $n=23\cdot 47$. 对于 $b$ 遍历模 $n$ 的完全剩余系, 计算 $b^{n-1} \bmod n$, 并确定出所有整数 $b$, 使得 $n$ 为基 $b$ 的强伪素数. 简述 miller-rabin 素性检验, 并用它产生一个 $10^{10}$ 大小的素数.

第七章 连分数

7.1 作业 20210510

1、求 $(5^{1/2} 1)/2$ 的简单连分数及前6项渐近分数 求圆周率 $\pi$ 的简单连分数及前6项渐近分数 求自然对数底 $e$ 的简单连分数及前6项渐近分数 求有理分数 $20190122/2017$ 的简单连分数及前6项渐近分数

7.2 作业 20210510

1、简述简单连分数的构造 讨论简单连分数的收敛性 对于有理分数 $a/b$, 简述 $a/b$ 的简单连分数及其渐近分数, 并说明如何找到整数 $s,~ t$ 使得 $s\cdot a t\cdot b = (a, b)$

7.3 作业 20210510

1、给定实数 $\alpha$, 简述有无穷有理数 $p/q$, 使得 $|\alpha - p/q| \le 1/q^2$ 给定实数 $\alpha$, 简述有无穷有理数 $p/q$, 使得 $|\alpha - p/q| \le 1/(5^{1/2}q^2)$

7.4 作业 20210510

1、简述简单连分数的渐近分数的最佳逼近性质 给出圆周率 $\pi$ 的简单连分数及前8项渐近分数 给出自然对数底 $e$ 的简单连分数及前8项渐近分数

7.5 作业 20210510

1、设 $n = 47\cdot 67$, 求 $n$ 的平方根 $n^{1/2}$ 的简单连分数及整数 $n$ 的因数分解 设 $n = 2011\cdot 2017$, 求 $n$ 的平方根 $n^{1/2}$ 的简单连分数及整数 $n$ 的因数分解